Бюрократы, Проверяющие участников, importer, Администраторы интерфейса, interwiki, oversight, patroller, Администраторы (Semantic MediaWiki), steward, Скрывающие, Администраторы
8365
правок
Изменения
Перенос https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9&oldid=134700990
[[Файл:Число с плавающей запятой.png|250px|мини|справа|Число в форме десятичной дроби и в экспоненциальной форме]]
'''Число с плавающей запятой''' (или '''число с плавающей точкой''') — [[Экспоненциальная запись|экспоненциальная форма]] представления [[Вещественное число|вещественных (действительных) чисел]], в которой число хранится в виде [[Экспоненциальная запись|мантиссы и порядка]] ([[Показатель степени|показателя степени]]). При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную [[точность]] и изменяющуюся абсолютную. Используемое наиболее часто представление утверждено в стандарте [[IEEE 754]]. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.
== «Плавающая запятая» и «плавающая точка» ==
{{основная статья|Десятичный разделитель}}
Так как в некоторых, преимущественно [[Английский язык|англоязычных]] и [[Англизация|англофицированных]] странах при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» ({{lang-en|floating point}}). Так как в [[Россия|России]] целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия исторически используется термин «плавающая запятая», однако в настоящее время в русскоязычной литературе и технической документации можно встретить оба варианта.
== Происхождение названия ==
Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение указывается отдельно во внутреннем представлении. Такое представление может рассматриваться как компьютерная реализация [[экспоненциальная запись|экспоненциальной записи]] чисел.
Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с [[Число с фиксированной запятой|фиксированной запятой]] (и [[Целое число|целыми числами]]) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной [[относительная точность|относительной точности]]. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее {{num|6|разрядов}} в целой части и {{num|2|разряда}} после запятой, может быть представлено в виде {{num|123456.78}}. В свою очередь, в формате с плавающей запятой в тех же {{num|8|разрядах}} можно записать числа {{num|1.2345678}}; {{num|1234567.8}}; {{num|0.000012345678}}; {{num|12345678000000000}} и так далее, но для этого необходимо иметь дополнительное двухразрядное поле для записи показателей степени основания{{nbsp}}10 от{{nbsp}}0 до 16, при этом общее число разрядов составит 8+2=10.
Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется во [[FLOPS]] (от {{lang-en|floating-point operations per second}} — «[количество] операций с плавающей запятой в секунду») и является одной из основных единиц измерения быстродействия вычислительных систем.
== Структура числа ==
Число с плавающей запятой состоит из следующих частей:
* знак мантиссы (указывает на отрицательность или положительность числа),
* мантисса (выражает значение числа без учёта [[Порядок величины|порядка]]),
* знак порядка,
* порядок (выражает степень основания числа, на которое умножается мантисса).
=== {{якорь2|Нормальная форма|текст=Нормальная}} и {{якорь2|Нормализованная форма|текст=нормализованная}} формы ===
''Нормальной формой'' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале <math>[0, 1)</math>, то есть <math>0 \leq a < 1</math>.
Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, {{num|0.0001}} можно записать как {{val|0.000001|e=2}}, {{val|0.00001|e=1}}, {{val|0.0001|e=0}}, {{val|0.001|e=−1}}, {{val|0.01|e=−2}} и так далее), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма записи — ''нормализованная'', в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (исключительно), то есть <math>1 \leq a < 10</math> (аналогично, мантисса двоичного числа принимает значения от 1 до 2). В такой форме любое число (кроме <math>0</math>) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить{{nbsp}}0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак ([[бит]]) для числа{{nbsp}}0.
Старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме{{nbsp}}0) в нормализованном виде равен{{nbsp}}1 (так называемая {{якорь2|Неявная единица|текст=''неявная'' единица}}), поэтому при записи мантиссы числа в ЭВМ старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте [[IEEE{{nbsp}}754|IEEE 754]]. В [[Позиционная система счисления|позиционных системах счисления]] с основанием большим, чем{{nbsp}}2 (в [[троичная система счисления|троичной]], четверичной и др.), этого свойства нет.
== Способы записи ==
При ограниченных возможностях оформления (например, отображение числа на [[Семисегментный индикатор|семисегментном индикаторе]]), а также при необходимости обеспечить быстрый и удобный ввод чисел, вместо записи вида {{math|<var>m</var>·<var>b</var>{{sup|<var>e</var>}}}} ({{mvar|m}} — мантисса; {{mvar|b}} — [[Основание системы счисления|основание]], чаще всего{{nbsp}}10; {{mvar|e}} — экспонента), записывают лишь мантиссу и показатель степени, разделяя их буквой{{nbsp}}«E» (от {{lang-en|exponent}}). Основание при этом неявно полагают равным{{nbsp}}10. Например, число {{val|1.528535047|e=−25}} в этом случае записывается как 1.528535047E-25.
== Краткий обзор ==
Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:
* Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами — в виде целого числа — запятая (radix point) по умолчанию находится в конце строки.
* В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или точки) в нужном месте.
* В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка «00012345» обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
* В экспоненциальной записи используют стандартный (''нормализованный'') вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном (нормализованном) виде, если оно записано в виде <math>aq^n</math>, где <math>a</math>, называемое мантиссой, такое, что <math>1\le a<q</math>, <math>n</math> — целое, называется показатель степени и <math>q</math> — целое, основание системы счисления (на письме это обычно 10). То есть в мантиссе запятая помещается сразу после первой значащей (не равной нулю) цифры, считая слева направо, а дальнейшая запись даёт информацию о действительном значении числа. Например, период обращения (на орбите) спутника [[Юпитер (планета)|Юпитера]] [[Ио (спутник)|Ио]], который равен {{val|152853.5047|u=с}}, в стандартном виде можно записать как {{val|1.528535047|e=5|u=с}}. Побочным эффектом ограничения на значения мантиссы является то, что в такой записи невозможно изобразить число{{nbsp}}0.
* Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в ''нормализованном'' формате — с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой значащей цифры. Возвращаясь к примеру с Ио, запись в форме с плавающей запятой будет иметь мантиссу 1,528535047 и показатель 5. Это означает, что имеется в виду число в 10<sup>5</sup> раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется в виду — так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000…0 и показатель +0…0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью — по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.
Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе представления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как
: 0,12 × 0,12 = 0,0144
в нормальной форме представляется в виде
: (1,20{{e|−1}}) × (1,20{{e|−1}}) = (1,44{{e|−2}}).
В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление
: 0,120 × 0,120 = 0,014.
Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.
=== Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой ===
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 1 бит знак + 52 бита, показатель — 1 бит знак + 10 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94{{e|−324}} до 1.79{{e|308}} (от 2<sup>−52</sup> × 2<sup>−1022</sup> до ~1 × 2<sup>1024</sup>). (или от 3.7{{e|-1126}} до 9.99{{e|1091}}). В стандарте [[IEEE 754]] несколько значений данного типа зарезервировано для обеспечения возможности представления специальных значений. К ним относятся значения [[NaN]] (Not a Number, «не число») и +/-INF (Infinity, [[бесконечность]]), получающихся в результате операций [[Деление на ноль|деления на ноль]] или при превышении числового диапазона. Также сюда попадают [[денормализованные числа]], у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например, [[GPU]]) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти, выделенный под мантиссу и показатель, задаётся программно и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ (см. ''[[Арифметика произвольной точности]]'').
<!-- ============================== Здесь будет добавлена ещё информация ===============
Перевод статьи не окончен
===================================================================================
-->{| class="standard"
!Точность || Одинарная || Двойная || Расширенная
|-
! Размер (байты)
| 4 || 8 || 10
|-
! Число десятичных знаков
| ~7.2 || ~15.9 || ~19.2
|-
! Наименьшее значение (>0), denorm
| 1,4{{e|−45}} || 4,9{{e|−324}} || 3,7{{e|−1126}}
|-
! Наименьшее значение (>0), normal
| 1,2{{e|−38}} || 2,3{{e|−308}} || 1{{e|−1091}}
|-
! Наибольшее значение
| 3,4×10<sup>+38</sup> || 1,7×10<sup>+308</sup> || 9,9×10<sup>+1091</sup>
|-
! Поля
| S-E-F || S-E-F || S-E-I-F
|-
! Размеры полей
| 1-8-23 || 1-11-52 || 1-15-1-63
|}
* S — знак, E — показатель степени, I — целая часть, F — дробная часть
* Так же, как и для целых, знаковый бит — старший.
=== Машинный эпсилон ===
В отличие от чисел с [[фиксированная запятая|фиксированной запятой]], сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел с малыми порядками и более редкая — для чисел с большими порядками. Но [[относительная погрешность]] записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. '''''[[Машинный эпсилон|Машинным эпсилоном]]''''' называется наименьшее положительное число ε такое, что <math>1 \oplus \varepsilon \neq 1</math> (знаком <math>\oplus</math> обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа ''a'' и ''b'', соотносящиеся так, что <math>1 < \frac a b < 1+\varepsilon</math>, машина не различает.
Для одинарной точности <math>\varepsilon = 2^{-24} \approx 5,96\cdot10^{-8}</math>, то есть приблизительно 7 [[Значащие цифры|значащих цифр]]. Для двойной точности: <math>\varepsilon = 2^{-53} \approx 1,11\cdot10^{-16}</math>, 15 значащих цифр<ref>{{книга
| автор = E. Cheney, David Kincaid
| заглавие = Numerical Mathematics and Computing
| издательство = Cengage Learning
| год = 2012
| allpages = 43–
| isbn = 1-133-71235-5
| ref =
}}</ref>.
== См. также ==
* [[Вычислительная устойчивость]]
* [[Фиксированная запятая]]
* [[Число половинной точности]]
* [[Число одинарной точности]]
* [[Число двойной точности]]
* [[Число четверной точности]]
* [[Десятичный разделитель]]
== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга
|заглавие = Программирование
|часть =
|оригинал =
|автор = Криницкий Н. А., Миронов Г. А., Фролов Г. Д.
|ссылка =
|isbn =
|страниц = 384
|год = 1963
|место = М.
|издательство = Государственное издательство физико-математической литературы
}}
* {{книга
|заглавие = Алгоритмические трюки для программистов
|часть = Глава 15. Числа с плавающей точкой
|оригинал = Hacker’s Delight
|автор = Генри С. Уоррен, мл.
|ссылка =
|isbn = 0-201-91465-4
|страницы = 288
|год = 2007
|место = М.
|издательство = [[Вильямс (издательство)|Вильямс]]
}}
== Ссылки ==
* [https://habrahabr.ru/post/112953/ Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой]
{{нет сносок|дата=2015-02-06}}
{{Типы данных}}
[[Категория:Арифметика с плавающей запятой|*]]
[[Категория:Типы данных]]
'''Число с плавающей запятой''' (или '''число с плавающей точкой''') — [[Экспоненциальная запись|экспоненциальная форма]] представления [[Вещественное число|вещественных (действительных) чисел]], в которой число хранится в виде [[Экспоненциальная запись|мантиссы и порядка]] ([[Показатель степени|показателя степени]]). При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную [[точность]] и изменяющуюся абсолютную. Используемое наиболее часто представление утверждено в стандарте [[IEEE 754]]. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.
== «Плавающая запятая» и «плавающая точка» ==
{{основная статья|Десятичный разделитель}}
Так как в некоторых, преимущественно [[Английский язык|англоязычных]] и [[Англизация|англофицированных]] странах при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» ({{lang-en|floating point}}). Так как в [[Россия|России]] целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия исторически используется термин «плавающая запятая», однако в настоящее время в русскоязычной литературе и технической документации можно встретить оба варианта.
== Происхождение названия ==
Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение указывается отдельно во внутреннем представлении. Такое представление может рассматриваться как компьютерная реализация [[экспоненциальная запись|экспоненциальной записи]] чисел.
Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с [[Число с фиксированной запятой|фиксированной запятой]] (и [[Целое число|целыми числами]]) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной [[относительная точность|относительной точности]]. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее {{num|6|разрядов}} в целой части и {{num|2|разряда}} после запятой, может быть представлено в виде {{num|123456.78}}. В свою очередь, в формате с плавающей запятой в тех же {{num|8|разрядах}} можно записать числа {{num|1.2345678}}; {{num|1234567.8}}; {{num|0.000012345678}}; {{num|12345678000000000}} и так далее, но для этого необходимо иметь дополнительное двухразрядное поле для записи показателей степени основания{{nbsp}}10 от{{nbsp}}0 до 16, при этом общее число разрядов составит 8+2=10.
Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется во [[FLOPS]] (от {{lang-en|floating-point operations per second}} — «[количество] операций с плавающей запятой в секунду») и является одной из основных единиц измерения быстродействия вычислительных систем.
== Структура числа ==
Число с плавающей запятой состоит из следующих частей:
* знак мантиссы (указывает на отрицательность или положительность числа),
* мантисса (выражает значение числа без учёта [[Порядок величины|порядка]]),
* знак порядка,
* порядок (выражает степень основания числа, на которое умножается мантисса).
=== {{якорь2|Нормальная форма|текст=Нормальная}} и {{якорь2|Нормализованная форма|текст=нормализованная}} формы ===
''Нормальной формой'' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале <math>[0, 1)</math>, то есть <math>0 \leq a < 1</math>.
Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, {{num|0.0001}} можно записать как {{val|0.000001|e=2}}, {{val|0.00001|e=1}}, {{val|0.0001|e=0}}, {{val|0.001|e=−1}}, {{val|0.01|e=−2}} и так далее), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма записи — ''нормализованная'', в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (исключительно), то есть <math>1 \leq a < 10</math> (аналогично, мантисса двоичного числа принимает значения от 1 до 2). В такой форме любое число (кроме <math>0</math>) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить{{nbsp}}0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак ([[бит]]) для числа{{nbsp}}0.
Старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме{{nbsp}}0) в нормализованном виде равен{{nbsp}}1 (так называемая {{якорь2|Неявная единица|текст=''неявная'' единица}}), поэтому при записи мантиссы числа в ЭВМ старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте [[IEEE{{nbsp}}754|IEEE 754]]. В [[Позиционная система счисления|позиционных системах счисления]] с основанием большим, чем{{nbsp}}2 (в [[троичная система счисления|троичной]], четверичной и др.), этого свойства нет.
== Способы записи ==
При ограниченных возможностях оформления (например, отображение числа на [[Семисегментный индикатор|семисегментном индикаторе]]), а также при необходимости обеспечить быстрый и удобный ввод чисел, вместо записи вида {{math|<var>m</var>·<var>b</var>{{sup|<var>e</var>}}}} ({{mvar|m}} — мантисса; {{mvar|b}} — [[Основание системы счисления|основание]], чаще всего{{nbsp}}10; {{mvar|e}} — экспонента), записывают лишь мантиссу и показатель степени, разделяя их буквой{{nbsp}}«E» (от {{lang-en|exponent}}). Основание при этом неявно полагают равным{{nbsp}}10. Например, число {{val|1.528535047|e=−25}} в этом случае записывается как 1.528535047E-25.
== Краткий обзор ==
Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:
* Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами — в виде целого числа — запятая (radix point) по умолчанию находится в конце строки.
* В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или точки) в нужном месте.
* В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка «00012345» обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
* В экспоненциальной записи используют стандартный (''нормализованный'') вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном (нормализованном) виде, если оно записано в виде <math>aq^n</math>, где <math>a</math>, называемое мантиссой, такое, что <math>1\le a<q</math>, <math>n</math> — целое, называется показатель степени и <math>q</math> — целое, основание системы счисления (на письме это обычно 10). То есть в мантиссе запятая помещается сразу после первой значащей (не равной нулю) цифры, считая слева направо, а дальнейшая запись даёт информацию о действительном значении числа. Например, период обращения (на орбите) спутника [[Юпитер (планета)|Юпитера]] [[Ио (спутник)|Ио]], который равен {{val|152853.5047|u=с}}, в стандартном виде можно записать как {{val|1.528535047|e=5|u=с}}. Побочным эффектом ограничения на значения мантиссы является то, что в такой записи невозможно изобразить число{{nbsp}}0.
* Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в ''нормализованном'' формате — с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой значащей цифры. Возвращаясь к примеру с Ио, запись в форме с плавающей запятой будет иметь мантиссу 1,528535047 и показатель 5. Это означает, что имеется в виду число в 10<sup>5</sup> раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется в виду — так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000…0 и показатель +0…0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью — по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.
Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе представления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как
: 0,12 × 0,12 = 0,0144
в нормальной форме представляется в виде
: (1,20{{e|−1}}) × (1,20{{e|−1}}) = (1,44{{e|−2}}).
В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление
: 0,120 × 0,120 = 0,014.
Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.
=== Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой ===
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 1 бит знак + 52 бита, показатель — 1 бит знак + 10 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94{{e|−324}} до 1.79{{e|308}} (от 2<sup>−52</sup> × 2<sup>−1022</sup> до ~1 × 2<sup>1024</sup>). (или от 3.7{{e|-1126}} до 9.99{{e|1091}}). В стандарте [[IEEE 754]] несколько значений данного типа зарезервировано для обеспечения возможности представления специальных значений. К ним относятся значения [[NaN]] (Not a Number, «не число») и +/-INF (Infinity, [[бесконечность]]), получающихся в результате операций [[Деление на ноль|деления на ноль]] или при превышении числового диапазона. Также сюда попадают [[денормализованные числа]], у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например, [[GPU]]) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти, выделенный под мантиссу и показатель, задаётся программно и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ (см. ''[[Арифметика произвольной точности]]'').
<!-- ============================== Здесь будет добавлена ещё информация ===============
Перевод статьи не окончен
===================================================================================
-->{| class="standard"
!Точность || Одинарная || Двойная || Расширенная
|-
! Размер (байты)
| 4 || 8 || 10
|-
! Число десятичных знаков
| ~7.2 || ~15.9 || ~19.2
|-
! Наименьшее значение (>0), denorm
| 1,4{{e|−45}} || 4,9{{e|−324}} || 3,7{{e|−1126}}
|-
! Наименьшее значение (>0), normal
| 1,2{{e|−38}} || 2,3{{e|−308}} || 1{{e|−1091}}
|-
! Наибольшее значение
| 3,4×10<sup>+38</sup> || 1,7×10<sup>+308</sup> || 9,9×10<sup>+1091</sup>
|-
! Поля
| S-E-F || S-E-F || S-E-I-F
|-
! Размеры полей
| 1-8-23 || 1-11-52 || 1-15-1-63
|}
* S — знак, E — показатель степени, I — целая часть, F — дробная часть
* Так же, как и для целых, знаковый бит — старший.
=== Машинный эпсилон ===
В отличие от чисел с [[фиксированная запятая|фиксированной запятой]], сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел с малыми порядками и более редкая — для чисел с большими порядками. Но [[относительная погрешность]] записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. '''''[[Машинный эпсилон|Машинным эпсилоном]]''''' называется наименьшее положительное число ε такое, что <math>1 \oplus \varepsilon \neq 1</math> (знаком <math>\oplus</math> обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа ''a'' и ''b'', соотносящиеся так, что <math>1 < \frac a b < 1+\varepsilon</math>, машина не различает.
Для одинарной точности <math>\varepsilon = 2^{-24} \approx 5,96\cdot10^{-8}</math>, то есть приблизительно 7 [[Значащие цифры|значащих цифр]]. Для двойной точности: <math>\varepsilon = 2^{-53} \approx 1,11\cdot10^{-16}</math>, 15 значащих цифр<ref>{{книга
| автор = E. Cheney, David Kincaid
| заглавие = Numerical Mathematics and Computing
| издательство = Cengage Learning
| год = 2012
| allpages = 43–
| isbn = 1-133-71235-5
| ref =
}}</ref>.
== См. также ==
* [[Вычислительная устойчивость]]
* [[Фиксированная запятая]]
* [[Число половинной точности]]
* [[Число одинарной точности]]
* [[Число двойной точности]]
* [[Число четверной точности]]
* [[Десятичный разделитель]]
== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга
|заглавие = Программирование
|часть =
|оригинал =
|автор = Криницкий Н. А., Миронов Г. А., Фролов Г. Д.
|ссылка =
|isbn =
|страниц = 384
|год = 1963
|место = М.
|издательство = Государственное издательство физико-математической литературы
}}
* {{книга
|заглавие = Алгоритмические трюки для программистов
|часть = Глава 15. Числа с плавающей точкой
|оригинал = Hacker’s Delight
|автор = Генри С. Уоррен, мл.
|ссылка =
|isbn = 0-201-91465-4
|страницы = 288
|год = 2007
|место = М.
|издательство = [[Вильямс (издательство)|Вильямс]]
}}
== Ссылки ==
* [https://habrahabr.ru/post/112953/ Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой]
{{нет сносок|дата=2015-02-06}}
{{Типы данных}}
[[Категория:Арифметика с плавающей запятой|*]]
[[Категория:Типы данных]]