Изменения
мСтрока 84:
Строка 84: − Похожее устройство имеет [[позиционная система счисления]] с [[иррациональное число|иррациональным]] основанием, равным [[золотое сечение|золотому сечению]] <math>\varphi = (1 + \sqrt{5})/2</math>. − Любое [[действительное число]] ''x'' из отрезка [0,1] допускает разложение в [[степенной ряд|ряд]] через отрицательные степени золотого сечения:+ − : <math>x = \sum_{k=-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k,\qquad \varepsilon_k \in \{0,1\}</math> − где {ε<sub>k</sub>} обладает тем же свойством отсутствия соседних единиц. − Коэффициенты находятся последовательным сравнением ''x'' с <math>\varphi^{-1}</math> — золотым сечением отрезка [0,1], вычитанием <math>\varphi^{-1}</math> (если ε<sub>k</sub>=1) и умножением на <math>\varphi</math>. − Из этого нетрудно видеть, что любое неотрицательное действительное число допускает разложение: − : <math>a = \sum_{k=N-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k\,,</math> − где ''N'' таково, что <math>a < \varphi^N</math>. − Разумеется, следует считать что <math>\varepsilon_k = 0</math> для всех <math>k \ge N</math>. − − Строка 142:
Строка 132: + + + + + + + + + + + +
→Обобщение на действительные числа: оформление
== Обобщение на действительные числа ==
== Обобщение на действительные числа ==
{| align=right class=standard style="margin-right: 20px"
{| align=left class=standard style="margin-right: 20px"
|-
|-
! Число
! Число
|<tt>100100,001001</tt>
|<tt>100100,001001</tt>
|}
|}
Похожее устройство имеет [[позиционная система счисления]] с [[иррациональное число|иррациональным]] основанием, равным [[золотое сечение|золотому сечению]] <math>\varphi = (1 + \sqrt{5})/2</math>.
Любое [[действительное число]] ''x'' из отрезка [0,1] допускает разложение в [[степенной ряд|ряд]] через отрицательные степени золотого сечения:
: <math>x = \sum_{k=-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k,\qquad \varepsilon_k \in \{0,1\}</math>
где {ε<sub>k</sub>} обладает тем же свойством отсутствия соседних единиц.
Коэффициенты находятся последовательным сравнением ''x'' с <math>\varphi^{-1}</math> — золотым сечением отрезка [0,1], вычитанием <math>\varphi^{-1}</math> (если ε<sub>k</sub>=1) и умножением на <math>\varphi</math>.
Из этого нетрудно видеть, что любое неотрицательное действительное число допускает разложение:
: <math>a = \sum_{k=N-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k\,,</math>
где ''N'' таково, что <math>a < \varphi^N</math>.
Разумеется, следует считать что <math>\varepsilon_k = 0</math> для всех <math>k \ge N</math>.
Эти формулы полностью аналогичны формулам для обычных позиционных систем с целыми основаниями.
Эти формулы полностью аналогичны формулам для обычных позиционных систем с целыми основаниями.
Оказывается, что любое неотрицательное целое число (и, более общо, всякий неотрицательный элемент [[кольцо (алгебра)|кольца]] <math>{\mathbb Z}+\varphi{\mathbb Z}</math>) имеет представление лишь с конечным количеством единиц, то есть в виде конечной суммы неповторяющихся степеней золотого сечения.<ref>[[:en:Golden ratio base]]{{ref-en}}<!-- тут хорошо бы найти настоящий источник --></ref>
Оказывается, что любое неотрицательное целое число (и, более общо, всякий неотрицательный элемент [[кольцо (алгебра)|кольца]] <math>{\mathbb Z}+\varphi{\mathbb Z}</math>) имеет представление лишь с конечным количеством единиц, то есть в виде конечной суммы неповторяющихся степеней золотого сечения.<ref>[[:en:Golden ratio base]]{{ref-en}}<!-- тут хорошо бы найти настоящий источник --></ref>