Дельта-код Элиаса

Дельта-код Элиаса  — это универсальный код для кодирования положительных целых чисел, разработанный Питером Элиасом.

Кодирование

Алгоритм кодирования числа N:

1. Сосчитать $L$ — количество значащих битов в двоичном представлении числа $N$.
2. Сосчитать $M$ — количество значащих битов в двоичном представлении числа $L$.
3. Записать $M - 1$ нулей и одну единицу.
4. Дописать $L_2$ — $M - 1$ младших битов двоичного представления числа $L$ без старшей единицы ($2^{M-1}$).
5. Дописать $N_2$ — $L - 1$ младших битов двоичного представления числа $N$ без старшей единицы ($2^{L-1}$).

Иначе этот алгоритм можно описать так:

1. Сосчитать $L$ — количество значащих битов в двоичном представлении числа $N$.
2. Закодировать $L$ с помощью гамма-кода Элиаса (γ(L)).
3. Дописать двоичное представление числа $N$ без старшей единицы.

То есть и в дельта-, и в гамма-коде Элиаса число кодируется в виде экспоненты $L$ (разрядности числа — количества значащих битов) и мантиссы $N_2$ (собственно значащих битов), но в гамма-коде экспонента записывается в унарном виде, а в дельта-коде к ней ещё раз применяется гамма-кодирование.

Пример кодирования числа 10:

1. В двоичном представлении числа $N = 10 = 1010_2$ 4 значащих бита ($L = 4$).
2. В двоичном представлении числа $L = 4 = 100_2$ 3 значащих бита ($M = 3$).
3. Записываем $M-1 = 2$ нуля и одну единицу → 001.
4. Дописывем биты числа $L$ без старшей единицы → 00.
5. Дописывем биты числа $N$ без старшей единицы → 010.
6. Результат — 00100010.

Результаты кодирования первых 17 чисел (для сравнения показан также гамма-код):

N		L		M	Дельта-код		Длина, бит	Предполагаемая вероятность	Гамма-код		Длина, бит
					γ(L)	$N_2$			$L$	$N_2$
1	$1_2$	1	$1_2$	1	1		1	1/2	1		1
2	$10_2$	2	$10_2$	2	01 0	0	4	1/16	01	0	3
3	$11_2$	2	$10_2$	2	01 0	1	4	1/16	01	1	3
4	$100_2$	3	$11_2$	2	01 1	00	5	1/32	001	00	5
5	$101_2$	3	$11_2$	2	01 1	01	5	1/32	001	01	5
6	$110_2$	3	$11_2$	2	01 1	10	5	1/32	001	10	5
7	$111_2$	3	$11_2$	2	01 1	11	5	1/32	001	11	5
8	$1000_2$	4	$100_2$	3	001 00	000	8	1/256	0001	000	7
9	$1001_2$	4	$100_2$	3	001 00	001	8	1/256	0001	001	7
10	$1010_2$	4	$100_2$	3	001 00	010	8	1/256	0001	010	7
11	$1011_2$	4	$100_2$	3	001 00	011	8	1/256	0001	011	7
12	$1100_2$	4	$100_2$	3	001 00	100	8	1/256	0001	100	7
13	$1101_2$	4	$100_2$	3	001 00	101	8	1/256	0001	101	7
14	$1110_2$	4	$100_2$	3	001 00	110	8	1/256	0001	110	7
15	$1111_2$	4	$100_2$	3	001 00	111	8	1/256	0001	111	7
16	$10000_2$	5	$101_2$	3	001 01	0000	9	1/512	00001	0000	9
17	$10001_2$	5	$101_2$	3	001 01	0001	9	1/512	00001	0001	9

С помощью дополнительной обработки исходных значений дельта-код можно использовать также для кодирования нулевых и отрицательных целых чисел (см.: Гамма-код Элиаса#Обобщение).

Декодирование

Алгоритм декодирования числа из дельта-кода Элиаса:

1. Сосчитать $M$ — количество нулей во входном потоке до первой единицы.
2. За единицей следуют $M$ младших битов числа $L$, прочитать их и добавить к результату значение $2^M$. Если биты $L$ во входном потоке записаны от старших к младшим, то первую единицу после ведущей серии нулей можно читать как часть двоичного представления числа $L$, в этом случае добавлять $2^M$ отдельным шагом нет необходимости.
3. Следом идут $L - 1$ младших битов числа $N$, прочитать их и добавить к результату значение $2^{L-1}$.

Пример декодирования последовательности битов 001010001:

1. Прочитать из потока 001 и определить, что в начале 2 ведущих нуля ($M = 2$).
2. Прочитать из потока следующие $M = 2$ бита → 01; это даёт $L = 2^M + 01_2 = 4 + 1 = 5$.
3. Прочитать из потока следующие $L-1 = 4$ бита → 0001; это даёт $N = 2^{L-1} + 0001_2 = 16 + 1 = 17$.

Эффективность

Для чисел 2, 3, 8…15 дельта-код длиннее гамма-кода, для чисел 1, 4…7, 16…31 длина дельта-кода совпадает с длиной гамма-кода, для всех остальных чисел дельта-код короче гамма-кода. Соответственно, дельта-код тем менее выгоднее гамма-кода, чем неравномернее распределение вероятностей кодируемых чисел и чем более вероятны их значения при приближении к нулю.

См. также

• Омега-код Элиаса

Литература

• Д. Ватолин, А. Ратушняк, М. Смирнов, В. Юкин. Раздел 1. Методы сжатия без потерь. Глава 1. Кодирование источников данных без памяти. Разделение мантисс и экспонент // Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. — М.: Диалог-МИФИ, 2002. — С. 23—24. — 384 с. — ISBN 5-86404-170-x.
• Universal codeword sets and representations of the integers (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory : journal. — 1975. — March (vol. 21, no. 2). — P. 194—203. — doi:10.1109/tit.1975.1055349.